定义#

如果 $\lim \frac{a}{b}$（a和b都是函数）=0，那么称 a 是 b 的高阶无穷小。写作 $b=o(a)$

无穷小的分类#

• 高阶无穷小：若 $\lim \frac{a}{b}=0$，则称 a 是 b 的高阶无穷小
• 低阶无穷小：若 $\lim \frac{a}{b}=∞$，则称 a 是 b 的低阶无穷小
• 同阶无穷小：若 $\lim \frac{a}{b}≠0$，则称 a 是 b 的同阶无穷小
• k阶无穷小：若 $\lim \frac{a}{b^k}≠0$，则称 a 是 b 的 k 阶无穷小
• 等价无穷小：若 $\lim \frac{a}{b}=1$，则称 a 是 b 的等价无穷小

等价无穷小的性质#

等价无穷小可以相互替换，例如：

• $\sin x$ 可以换为 $x$

定理内容#

有一个函数 f(x) 和 F(x)，f(x) 在区间内连续可导，并且在 f(x) 所在的区间内任意一点，F’(x) 都不等于 0，那么至少存在一点 ξ，使得：

$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)} = \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$

定理的地位#

柯西中值定理是费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理中最具有一般性的定理。

与拉格朗日中值定理的关系#

• 可以用拉格朗日中值定理理解性推导出柯西中值定理
• 不能用拉格朗日中值定理来严格证明柯西中值定理

注意：这是因为用了两次拉格朗日定理取得两个点并不一定相等，所以并不能用拉格朗日定理来证明柯西中值定理。