逆序数#

定义：在一个数字排列里，前面的数比后面的数大，这样一对数就叫一个逆序。一个排列中所有逆序的总个数，就是这个排列的逆序数。

举例：排列 3 1 2

3>1 → 逆序
3>2 → 逆序
1<2 → 不是

逆序数 = 2

2 3 6 1 4 5的逆序数为：

0 0 0 3（前面有3个数比它大） 1 1

逆序数合为5

题例：在五阶行列式中，a_{12},\ a_{31},\ a_{54},\ a_{43},\ a_{25}的符号取？

解：

行排列：1 3 5 4 2 逆序数=4

列排列：2 1 4 3 5 逆序数=2

逆序数合为6，是偶数。正负性：（-1）^6 = 1，所以符号取正号。

行列式的性质#

互换行列变号#

例：

\begin{vmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}

在这里，第一行和第二行交换，那么交换后的行列式值为交换前的相反数。

提公因子#

例： \begin{vmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}

观察到第二行全部都是2的倍数，此时可以提2出来。

倍加（最常用）#

定义：某一行（或列）加上另一行（或列）的倍数，行列式的值不变

操作	行列式变化
交换两行	变号
某一行乘 k	× k
某一行加另一行的倍数	不变

拆分#

\begin{vmatrix} a_1 & b_1+d_1 & c_1 \\ a_2 & b_2+d_2 & c_2 \\ a_3 & b_3+d_3 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix}

可以写成拆开方式的，不影响运算结果。

对应成比例，值为0#

\begin{vmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}=0

\begin{vmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}=0

在第一个行列式中，第二列是第一列的2倍，所以是0

在第二个行列式中，只要有0行，可以是任意一行的0倍，所以最终值也为0。

行列式的计算#

二阶行列式#

题1:计算 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}

计算方法：主对角线-副对角线，也就是 1×1-2×2=-3

三阶行列式#

题2. 计算 D= \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}

上三角行列式计算方法：想办法把主对角线下方变为0，类似：

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}

计算思路：

使用第二行减去2倍的第一行：
- 此时的第二行：0 3 -2
使用第三行减去2倍的第一行：
- 此时的第三行：0 3 -3
使用第三行减去第二行：
- 此时的第三行：0 0 -1
最终式子为：

\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix}

最终值为:1*3*-1 = -3

四阶行列式的计算#

题3. 计算 D= \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 & 2 \\ -5 & 1 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -5 & 3 & -3 \end{vmatrix}

技巧：我们希望用于变换的第一行为1，这样倍数处理比较方便。观察到第五行为1，此时交换第五行和第一行，先把整体值变为负的。

接下来，使r2 - r1，r4 + 5r1，此时观察到：

- \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & -8 & 4 & -6 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 16 & -2 & 7 \end{vmatrix}

发现第三行存在1和-1，而且2是8和16的公因数，继续使用技巧，交换第二行和第三行，于是得到：

\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & -8 & 4 & -6 \\ 0 & 16 & -2 & 7 \end{vmatrix}

以此类推，最后会出现不得不使用分数乘法才能约掉的情况，直接相乘即可。最终得到：

10 \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{2} \end{vmatrix}

第一类特殊行列式#

题4. 计算 D= \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}

特点：每一行或者每一列的值相加都是相等的。

解决办法：

将所有行添加到第一行
提取公因子
用第一行去消其他行

如此操作之后得到：

\begin{vmatrix} 6 & 6 & 6 & 6 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}

此时提出6，得到：

6 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}

用第一行分别消去其他行即可。

第二类（箭形）行列式的计算#

题5. 箭型行列式 D_n= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}

定义：把所有非0连接起来，发现是个箭头形状。

解题思路：对于箭型，不使用行的变化，而使用列的变化去消除。

解： D_n= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} \xlongequal{c_1-c_2} \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} \xlongequal{c_1-c_3} \begin{vmatrix} -4 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} \xlongequal{c_1-c_4} \begin{vmatrix} -8 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{vmatrix}

其实还是很简单的，最终的计算结果略，答案为-192

行列式的展开#

余子式定义：把行列式中某个元素所在的“行和列划掉”，剩下的小行列式，就叫这个元素的余子式

例：

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}

我们求元素

\boldsymbol{a_{12}=2}的余子式。

删掉：第1行、第2列剩下：

\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}

此时计算结果为36-42=-6

这个就是余子式。

代数余子式：代数余子式 = 余子式 × 一个符号（±）

代数余子式的符号由这个决定：

A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}

这个非常简单啊，没什么好说的。

使用行列式的展开计算行列式的值：

D = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\dots+a_{in}A_{in} \quad (i=1,2,3\dots n)

D = a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\dots+a_{nj}A_{nj} \quad (j=1,2,3\dots n)

两种方法都能轻松求出来。

例：

解：按第一行展开D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} =1A_{11}+2A_{12}+3A_{13}

=1\times(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1&1\\3&2\end{vmatrix} +2\times(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix} +3\times(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}2&1\\1&3\end{vmatrix}

=-1-6+15=\boldsymbol{8}

定理：某行或某列元素与另一行或另一列的代数余子式之积相加为0。

例题：

D= \begin{vmatrix} 3 & -5 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -5 \\ -1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & -4 & -1 & -3 \end{vmatrix}

第一问：

3A_{31}-5A_{32}+2A_{33}+A_{34}

显然，根据刚才的定理，直接得出0

第二问：

A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}

等价于用这个系数代替原来式子的i行（在这里i=1），也就是：

= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -5 \\ -1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & -4 & -1 & -3 \end{vmatrix}

解这个行列式就行。

第三问：

\ M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41}

先把m余子式转化为a代数余子式：

(-1)^{1+1}A_{11}+(-1)^{2+1}A_{21}+(-1)^{3+1}A_{31}+(-1)^{4+1}A_{41}=A_{11}-A_{21}+A_{31}-A_{41}

计算方法如2。

范德蒙行列式#

D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 & d^3 \end{vmatrix}

这是一个范德蒙行列式，公式如下：

D=(b−a)(c−a)(d−a)(c−b)(d−b)(d−c)

矩阵的三则运算#

小注意：矩阵只有三则运算，矩阵本身没有除法。

行列式和矩阵的区别：

行列式：

D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}

矩阵：

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}

本质不同：

行列式最终计算结果是一个数值；矩阵只是数字数表，本身没有大小。

阶数要求

行列式必须是n 行 n 列（方阵）；矩阵可以是n×m，行列数可以不相等。

数乘运算（必考坑）

λ∣A∣：只需要把行列式任意一行 / 一列全体乘λ
λA：矩阵里每一个元素都要乘λ

加减运算

行列式：两个数直接加减；

矩阵：必须同型矩阵（行列数完全一致），才能对应元素相加减。

从属关系

只有方阵型矩阵，才有对应的行列式。

同型矩阵的加法：

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}

非常简单，直接相加就是了。

同型矩阵的乘法和行列式不同：

2A = 2\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times2 & 1\times2 & 1\times2 \\ 1\times2 & 2\times2 & 3\times2 \\ 1\times2 & 1\times2 & 1\times2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}

不同形的矩阵，要进行乘法，需要符合如下要求：

\text{题2：} \quad A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix},\quad B= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} ,\quad \text{求 } AB,\ BA \text{前行乘后列：}\quad A_{m\times n}\cdot B_{n\times s}=C_{m\times s}

AB= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\times1+1\times0+0\times1 & 2\times3+1\times(-1)+0\times(-3) \\ 1\times1+(-1)\times0+3\times1 & 1\times3+(-1)\times(-1)+3\times(-3) \end{pmatrix}

BA= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times2+3\times1 & 1\times1+3\times(-1) & 1\times0+3\times3 \\ 0\times2+(-1)\times1 & 0\times1+(-1)\times(-1) & 0\times0+(-1)\times3 \\ 1\times2+(-3)\times1 & 1\times1+(-3)\times(-1) & 1\times0+(-3)\times3 \end{pmatrix}

转置矩阵#

定义：把第 i 行第 j 列的元素，变成第 j 行第 i 列。俗称列变行，行变列。

\text{设 } \alpha= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix},\quad \beta= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \text{，求 } \alpha^\mathrm{T}\beta,\ \alpha\beta^\mathrm{T}

\alpha^\mathrm{T}\beta = \begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} =1\times1+2\times0+3\times1=4

非常简单，就不多写了。

伴随矩阵#

定义：把每个位置的代数余子式算出来，然后转置。

2）伴随矩阵 \ A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}

由于这种计算方式非常复杂，一般不使用，知道就行。

单位矩阵#

定义：主对角线为1，其余都为0的矩阵，就是单位矩阵。单位矩阵的特点是，行列式值为1，并且乘以任何矩阵，结果都为任何矩阵。

E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad |E|=1 \quad EA=AE=A

逆矩阵#

定义：如果一个方阵 A，存在一个矩阵 B，使得：AB=BA=I，那么：B 就叫 A 的逆矩阵。说人话就是可以把原矩阵抵消掉的那个矩阵。

AB=BA=E \text{ 则 } B \text{ 为 } A \text{ 的逆矩阵，记 } B=A^{-1}；\text{ 即：}AA^{-1}=E

在这里，E为单位矩阵。

求逆矩阵的基本公式（很少用）：

\text{公式：}\quad A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}

充要条件：|A| ≠ 0

矩阵的行列式计算#

1）转置矩阵性质

(AB)^\mathrm{T}=B^\mathrm{T}A^\mathrm{T}\quad (A^\mathrm{T})^\mathrm{T}=A\quad (kA)^\mathrm{T}=kA^\mathrm{T}\quad (A\pm B)^\mathrm{T}=A^\mathrm{T}\pm B^\mathrm{T}

2）伴随矩阵性质

(AB)^*=B^*A^*\quad |A^*|=|A|^{n-1}\quad A^*=|A|A^{-1}(A\text{可逆})\quad (kA)^*=k^{n-1}A^*

3）逆矩阵性质

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\quad (kA)^{-1}=\frac1k A^{-1}\quad (A^{-1})^{-1}=A\quad (A^\mathrm{T})^{-1}=(A^{-1})^\mathrm{T}\quad (A^n)^{-1}=(A^{-1})^n

4）矩阵的行列式

|A|=|A^\mathrm{T}|\quad |kA|=k^n|A|\quad |AB|=|BA|=|A||B|\quad |A^{-1}|=\frac1{|A|}

题目1：

\text{题1. 设}A\text{为三阶矩阵，已知}|A|=2.\text{求 }|3A|,\ |A^{-1}|,\ |A^*|

\begin{align*} \text{解：}\quad |3A|&=3^3|A|=27\times2=54 \\ |A^{-1}|&=\frac1{|A|}=\frac12 \\ |A^*|&=|A|^{3-1}=2^2=4 \end{align*}

题目2：

\text{题2. 设}A,B\text{都是}n\text{阶矩阵，且}|A|=3,|B|=2，\text{则}\ \left|\frac13 A^*B^{-1}\right|

\begin{align*} \left|\frac13 A^*B^{-1}\right| &=\left|\frac13 A^*\right|\cdot\left|B^{-1}\right| \\ &=\left(\frac13\right)^n |A^*|\cdot\frac1{|B|} \\ &=\left(\frac13\right)^n \cdot |A|^{n-1} \cdot\frac12 \\ &=\frac13 \end{align*}

题目3：

\text{题3. 设}A\text{为}n\text{阶矩阵，且}|A|=2，\text{则}\ \left|\left(-\frac14 A\right)^{-1}+A^*\right|

\begin{align*} \left|\left(-\frac14 A\right)^{-1}+A^*\right| &=\left|-4A^{-1}+|A|A^{-1}\right| \\ &=\left|-4A^{-1}+2A^{-1}\right| \\ &=\left|-2A^{-1}\right| \\ &=(-2)^n \cdot |A^{-1}| \\ &=(-2)^n \cdot \frac12 \\ &=\boldsymbol{(-1)^n \cdot 2^{n-1}} \end{align*}

这个是必考题，一定需要掌握。

初等行变化#

初等行变化分为三个：

换行
背乘
倍加

注意！换行之后，不加任何符号。并且用箭头连接表示变化，而不是等于号。

阶梯型矩阵：如果有0行，0行全部在矩阵最下面。每个接替首项即为主元，主元以此往右。阶梯型不是唯一的。

最简型：主元为1，主元所在的列，其余元素都为0。

意义：求出阶梯型可以很容易求矩阵的秩，求出最简型能求很多东西，如逆矩阵，特征向量等。

\text{题1：若 } A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} ,\text{ 求 } A^{-1}

可以利用初等行变换来简单求解：

\text{解：}(A\vdots E)= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & \vdots & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & \vdots & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & \vdots & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

先接一个单位矩阵，如果求出这种变换：

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & \dfrac{1}{3} & -\dfrac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & -1 & \dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3} \end{pmatrix}

左侧变为单位矩阵，那么右侧就是原来矩阵的逆矩阵。

简单情况也可以用口诀来做题：

\text{题2：若 } A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \text{，求 } A^{-1}

\text{口诀：主对调，次反号，除以值} \\ A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

可以很轻松的求出。

例题：

\text{题3：设 } A=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}，\text{且 } AX=A+2X，\text{求 } X

需要知道：

矩阵没有除法，想要做类似除法的操作，只能乘以矩阵的逆
提公因子时，没有矩阵的项得提出来一个单位矩阵。

AX &= A+2X \\ AX-2X &= A \\ (A-2E)X &= A \\ (A-2E)^{-1}(A-2E)X &= (A-2E)^{-1}A

由于矩阵的性质根据逆矩阵性质 (A−2E)−1(A−2E)=E，单位矩阵 EX=X

X=(A-2E)^{-1}A

解：

\text{解：} X=(A-2E)^{-1}A \quad A-2E=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

矩阵的秩#

\text{题1：已知矩阵 } A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 & 4 \end{pmatrix}，\text{求 } R(A)

定义：矩阵的秩，即为主元的个数，需要先化简。

\text{解：} A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 0 & 4 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \text{即 } R(A)=2

例题：

\text{题2：设三阶矩阵 } A=\begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}，\text{试求矩阵 } A \text{ 的秩}

A=\begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & 1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & x \\ 0 & x-1 & -(x-1) \\ 0 & -(x-1) & 1-x^2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & x \\ 0 & x-1 & -(x-1) \\ 0 & 0 & -(x+2)(x-1) \end{pmatrix}

对最终结果进行分类讨论：

①当 x \neq 1 且 x \neq -2 时，R(A)=3 \\ ②当 x = 1 时，R(A)=1 \\ ③当 x = -2 时，R(A)=2

矩阵的秩的性质：

①\ A_{m\times n}\quad R(A)\le \min\{m,n\} \\ ②\ A\text{为方阵}\quad R(A)=n \iff |A|\ne 0,\quad R(A)<n \iff |A|=0 \\ ③\ R(A^T)=R(A)=R(kA)\quad (k\ne 0) \\ ④\ R(AB)\le R(A),\quad R(AB)\le R(B)

向量组#

a=(1,1)^T \quad \text{二维向量} \quad b=(1,2,3)^T \quad \text{三维向量} \quad c=(2,0,1,4)^T \quad \text{四维向量}

\\ a_1=(1,2,-1)^T,\quad a_2=(3,2,0)^T,\quad a_3=(3,6,8)^T \\ A=(a_1,a_2,a_3)=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \\ -1 & 0 & 8 \end{pmatrix}

例题：

\text{题1：}\alpha_1=(1,0,0)^T,\ \alpha_2=(0,1,0)^T,\ \alpha_3=(-1,0,1)^T,\ \beta=(0,5,-9)^T，\text{用}\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\text{线性表示}\beta

\text{解：设 } k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=\beta \\ k_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} +k_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} +k_3\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\5\\-9\end{pmatrix}

将其转换为一个方程组求解：

\begin{cases} k_1\times 1 + k_2\times 0 + k_3\times(-1) = 0 \\ k_1\times 0 + k_2\times 1 + k_3\times 0 = 5 \\ k_1\times 0 + k_2\times 0 + k_3\times 1 = -9 \end{cases}

\text{解得} \begin{cases} k_1=-9 \\ k_2=5 \\ k_3=-9 \end{cases} \quad \beta=-9\alpha_1+5\alpha_2-9\alpha_3

线性相关#

定义：

①存在一组不全为0的数 k_1,k_2,\dots,k_m，使 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_m\alpha_m=0\\ 则称向量组线性相关，否则线性无关

②若 R(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m)<m，则向量组线性相关； 若 R(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m)=m，则向量组线性无关

③极大无关组 \\ \text{例：三维坐标中 } \alpha_1=(1,0,0)^T,\ \alpha_2=(0,1,0)^T,\ \alpha_3=(0,0,1)^T \\ \text{任给一个三维向量 } \alpha_4=(2,3,6)^T \quad \text{都可以用 } \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \text{ 表示} \\ \alpha_4=2\alpha_1+3\alpha_2+6\alpha_3 \\ \text{所以 } \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \text{ 就是三维向量组 } \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\cdots\alpha_m \text{ 的一个极大无关组}

必考类型的题：

\text{题2. 求向量组} \alpha_1=(-2,1,0,3)^T,\ \alpha_2=(1,-3,2,4)^T,\ \alpha_3=(3,0,2,-1)^T,\ \alpha_4=(2,-2,4,6)^T \text{的极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示。}

先把a1 a2 a3 a4列成一个四行四列的矩阵。

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ① R(A)=3 \\ ② 极大无关组为 \boldsymbol{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3} \\ ③ \boldsymbol{\alpha_4=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3}

在这里，由于a4可以被a1 a2 a3表示出来，所以a4不是最大无关组。

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